"DISCRETE MATH": Matematika Diskrit

MATEMATIKA DISKRIT

Disini saya akan menyampaikan tentang mata kuliah matematika Diskrit, kebetulan dosen saya memberi tugas membuat blog seperti ini. Semua orang tahu matematika pastinya? dari mulai SD, SMP, SMK dan sampai Kuliah pun ada matematika tetapi materinya lebih mendalami di semester 3 Teknik Informatika S1 Di UDINUS, sebelumnya di semester 1 ada mata kuliah KALKULUS I dan berlanjut di semester 2 ada mata kuliah KALKULUS II dan sekarang berganti nama yaitu MATEMATIKA DISKRIT di semester 3 ini.

Matemtika Diskrit merupakan cabang matematika yang mempelajari tentang obyek-obyek diskrit.Diskrit itu sendiri adalah sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. Dimana data diskrit merupakan data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pecahan, Contoh dari data diskrit misalnya manusia, pohon, bola dan lain-lain

Sekarang kita masuk ke materi langsung yaitu :

LOGIKA

Konsep Logika

Logika

Ilmu tentang metode penalaran yang berhubungan dengan pembuktian validitas suatu argumen.

Suatu argumen yang berisi pernyataan harus diubah menjadi bentuk logika agar dapat dibuktikan validitasnya.

Logika mengkaji hubungan antara pernyataan-pernyataan(statement)

Semua pengendara sepeda motor memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Logika Matematika
Logika matematika adalah sebuah alat untuk bekerja dengan pernyataan(statement) majemuk yang rumit. Termasukdidalamnya :

Bahasa untuk merepresentasikan pernyataan.
Notasi yang tepat untuk menuliskan sebuah pernyataan.
Metodologi untuk bernalar secara objektif untuk menentukan nilai benar-salah dari pernyataan.
Dasar-dasar untuk menyatakan pembuktian formal dalam semua cabang matematika.

Sejarah Logika

Aristoteles(322 B.C) => Logika Tradisional atau Logika Klasik.

George Booledan Augustus De Morgan (abadXIX) => Logika Modern atau Logika Simbolik.

Gottlob Frege, Bertrand Russel, Alfred North Whitehead, John Stuart (abadXX) => pengembangan Logika Modern.

Peranan Logika

Bidang Matematika

Komputasi
MatematikaDiskret

Elektronika

Rangkaian Digital

Ilmu Komputer/ Informatika

Membuat dan menguji program komputer.
Artificial Intelligence.
Expert Systems.
Logic Programming.
Soft Computing.

Dasar-dasar Logika

Ada suatu argumen yang secara logis kuat kuat, tetapi ada juga yang tidak.
Argumen terdiri dari proposisi ataomik yang dirangkai dengan Logical Connectives membentuk proposisi majemuk.

Jenis Proposisi

ProposisiAtomik
ProposisiMajemuk

Contoh1 : argumen logis

Jikahargagulanaik, makapabrikgulaakansenang.
Jikapabrikgulasenang, makapetanitebuakansenang.
Dengandemikian, jikahargagulanaik, makapetanitebusenang

Pernyataan (1) dan (2) disebut premis premis-premis dari suatu argumen dan pernyataan (3) berisi kesimpulan atau conclusion.

Jika suatu argumen memiliki premis premis-premis yang benar benar, maka kesimpulan juga harus benar benar.

Contoh2 : argumen logis

Program komputer ini memiliki bug, atau masukannya salah.
Masukannya tidak salah.
Dengan demikian, program komputer ini memiliki bug.

Contoh3 : argumen logis

Jika lampu lalu lintas menyala merah, maka semua kendaraan berhenti.
Lampu lalu lintas menyala merah.
Dengan demikian, semua kendaraan berhenti.

Hypothetical Syllogism ( contoh 1)

Jika A maka B.
Jika B maka C.
Jika A maka C

Disjunctive Syllogism (contoh2)

A atau B
Bukan B
A

Modus Ponens (contoh3)

Jika A maka B
A
B

Modus Tolens (contoh4)

Jika A maka B
Bukan A
Bukan B

Logika Proposisi

Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean(Booleanconnectives).
Beberapa aplikasinya dalam ilmu komputer:

Merancang sirkuit elektronik digital
Menyatakan kondisi/syarat pada program
Query untuk basis data dan program pencari(search engine)

Jenis Proposisi

Proposisi Atomik

Proposisi Majemuk

Atomic proposition adalah proposition yang tidak dapat dibagi lagi Kombinasi dari a.p dengan berbagai penghubung membentuk compound proposition(proposition majemuk).

Definisi Proposisi

Sebuah proposisi(p, q, r, …) adalah suatu kalimat(sentence) yang memiliki nilai kebenaran(truth value) benar(true), dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah(false) dengan notasi F tetapi tidak kedua-duanya.
(Namun demikian, kadang kita tidak tahu nilai kebenarannya karena kasusnya tergantung situasi, dalam kasus ini kita harus mengggunakan asumsi).

Perhatikan
a). 6 adalah bilangan genap.
b). x + 3 = 8.
c).Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.
d).12 ≥19.
e). Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
f). Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
g). Kemarin hari hujan.
h). Kehidupan hanya ada di planet Bumi.
i). 1+2
j). Siapkan kertas ujian sekarang!
k). x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Konstanta dan Variabel Proposisi

Variabel proposisi
Proposisi dapat dituliskan dengan simbol-simbol seperti A,B,C, …, yang hanya memiliki nilai benar(True) atau salah(False).
Contoh:

          A = hargagulanaik
          B = pabrikgulasenang
          C = petanitebusenang
             1). JikaA makaB
             2). JikaB makaC
             3). JikaA makaC
     4. Konstanta proposisi : T atau F
     5. Variabel dan konstanta proposisi adalah proposisi atomik atomik.

Variabel dan konstanta proposisi adalah proposisi atomik atomik.

Proposisi Atomik
Proposisi yang berisi satu variabel proposisi atau satu konstanta proposisi.
Contoh :

Andi kaya raya(A)
Antin hidup bahagia(B)

Proposisi Majemuk
Semua proposisi bukan atomik yang memiliki minimal satu perangkai logika.
Contoh :

Andi kaya raya dan hidup bahagia(A dan B)

Operator / Logical Connectives

Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih besar. (seperti tanda “+”di ekspresi numerik.)
Operator Uner bekerja pada satu operand (contoh−3);

Operator biner bekerja pada 2 operand (contoh 3 ×4).