Fungsi
Apakah anda tahu tentang fungsi dalam matematika diskrit? tentu sudah tahu kan. karena di smk saya sudah pernah di ajarkan tentang fungsi dan kebanyak banyak tidak paham sama sekali. semoga saja di perkuliahan saya bisa belajar memahaminya. Fungsi adalah relasi yang khusus tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. dan frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)
·
Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu
fungsi jika setiap elemen di dalam A
dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A ® B
yang artinya f memetakan
A ke B.
·
A disebut daerah
asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain)
dari f.
·
Nama lain untuk fungsi
adalah pemetaan atau transformasi.
·
Kita menuliskan f(a)
= b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b
di dalam B.
·
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
·
Himpunan
yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper
subset) dari B.
·
Fungsi adalah relasi yang
khusus:
1.
Tiap elemen di dalam
himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan
f.
2.
Frasa “dihubungkan dengan
tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b) Î f dan (a, c)
Î f, maka b
= c.
·
Fungsi dapat
dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:
1.
Himpunan pasangan terurut.
Seperti pada relasi.
2.
Formula pengisian nilai (assignment).
Contoh: f(x) = 2x
+ 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x.
3.
Kata-kata
Contoh: “f
adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string
biner”.
4.
Kode program (source code)
Contoh: Fungsi
menghitung |x|
function
abs(x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=-x
else
abs:=x;
end;
Contoh 1.
Relasi
f = {(1,
u), (2, v), (3, w)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} adalah fungsi dari A ke B.
Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w.
Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u,
v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.
Contoh
2.
Relasi
f = {(1, u),
(2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} adalah fungsi dari A ke B,
meskipun u merupakan bayangan dari
dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah
hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.
Contoh 3.
Relasi
f = {(1, u),
(2, v), (3, w)}
dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v,
w} bukan fungsi, karena tidak semua
elemen A dipetakan ke B.
Contoh 4.
Relasi
f = {(1, u),
(1, v), (2, v), (3, w)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan
ke dua buah elemen B, yaitu u dan v.
Contoh 5. Misalkan f : Z ® Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah
asal dan daerah hasil dari f adalah
himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan
bilangan bulat tidak-negatif.
·
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu
(one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.
Contoh 6.
Relasi
f = {(1, w),
(2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,
Tetapi relasi
f = {(1, u),
(2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.
Contoh 7. Misalkan f : Z ® Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x)
= x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?
Penyelesaian:
(i) f(x) = x2
+ 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak
sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2)
= 5 padahal –2 ¹ 2.
(ii) f(x)
= x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ¹ b,
a – 1 ¹ b – 1.
Misalnya
untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.
·
Fungsi f dikatakan dipetakan pada
(onto) atau surjektif (surjective)
jika setiap elemen himpunan B
merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
·
Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.
Contoh 8.
Relasi
f = {(1, u),
(2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.
Relasi
f = {(1, w),
(2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} merupakan fungsi pada karena semua
anggota B merupakan jelajah dari f.
Contoh 9. Misalkan f : Z ® Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x)
= x – 1 merupakan fungsi pada?
Penyelesaian:
(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada,
karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.
(ii) f(x) = x – 1 adalah
fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x
yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y
+ 1.
·
Fungsi f dikatakan berkoresponden
satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu
dan juga fungsi pada.
Contoh 10.
Relasi
f = {(1, u),
(2, w), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu,
karena f adalah fungsi satu-ke-satu
maupun fungsi pada.
Contoh 11. Fungsi f(x)
= x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f
adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
Fungsi satu-ke-satu, Fungsi pada,
bukan pada bukan satu-ke-satu
 |
|||
Buka fungsi satu-ke-satu Bukan fungsi
maupun pada
 |
|||
·
Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B,
maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.
·
Balikan fungsi dilambangkan
dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B,
maka f -1(b) = a
jika f(a) = b.
·
Fungsi yang berkoresponden
satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan),
karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not
invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang
berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Contoh 12.
Relasi
f = {(1, u),
(2, w), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} adalah fungsi yang berkoresponden
satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah
f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}
Jadi, f adalah fungsi
invertible.
Contoh 13. Tentukan balikan
fungsi f(x) = x – 1.
Penyelesaian:
Fungsi f(x) = x
– 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi
tersebut ada.
Misalkan f(x)
= y, sehingga y = x – 1, maka x = y +
1. Jadi, balikan fungsi balikannya
adalah f-1(y) = y +1.
Contoh 14. Tentukan balikan
fungsi f(x) = x2 + 1.
Penyelesaian:
Dari Contoh 3.41 dan 3.44
kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x – 1 bukan fungsi
yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x)
= x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.
Komposisi dari dua buah
fungsi.
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi
dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan
dengan f o g, adalah fungsi dari A
ke C yang didefinisikan oleh
(f o g)(a) = f(g(a))
Contoh 15.
Diberikan fungsi
g = {(1, u),
(2, u), (3, v)}
yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w},
dan fungsi
f = {(u, y),
(v, x), (w, z)}
yang memetakan B = {u,
v, w} ke C = {x, y,
z}. Fungsi komposisi dari A ke C
adalah
f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
Contoh 16.
Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2
+ 1. Tentukan f o g dan g o f .
Penyelesaian:
(i) (f o g)(x)
= f(g(x)) = f(x2
+ 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(ii) (g o f)(x)
= g(f(x)) = g(x
– 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.
Beberapa Fungsi Khusus
1. Fungsi Floor dan Ceiling
Misalkan x adalah
bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.
Fungsi floor dari x:
[x] menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang
lebih kecil atau sama dengan x
[x] menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih
besar atau sama dengan x
Dengan kata lain, fungsi floor
membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x
ke atas.
Contoh 17. Beberapa contoh
nilai fungsi floor dan ceiling:
Contoh 18. Di dalam
komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri
atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka jumlah byte yang diperlukan
untuk merepresentasikan data adalah é125/8ù = 16 byte.
Perhatikanlah bahwa 16 ´ 8 = 128 bit,
sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra
agar satu byte tetap 8 bit (bit
ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits).
2. Fungsi modulo
Misalkan a
adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.
a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila
a dibagi dengan m
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r,
dengan 0 £ r < m.
Contoh 19. Beberapa contoh
fungsi modulo
25 mod 7 = 4
15 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12
0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3 (sebab
–25 = 7 × (–4) + 3 )
3. Fungsi Faktorial
4. Fungsi Eksponensial
Untuk kasus perpangkatan
negatif,
5. Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik berbentuk
Fungsi Rekursif
·
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada
dirinya sendiri.
Fungsi rekursif disusun oleh
dua bagian:
(a) Basis
Bagian yang berisi nilai awal yang tidak
mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi
rekursif.
(b) Rekurens
Bagian ini mendefinisikan
argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu
pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal
(basis).
·
Contoh definisi rekursif
dari faktorial:
(a) basis:
n! = 1
, jika n = 0
(b) rekurens:
n! = n ´ (n -1)! , jika n
> 0
5! dihitung dengan langkah
berikut:
(1) 5! = 5 ´ 4! (rekurens)
(2) 4! = 4 ´ 3!
(3) 3! = 3 ´ 2!
(4) 2! = 2 ´ 1!
(5) 1! = 1 ´ 0!
(6) 0! = 1
(6’) 0! = 1
(5’) 1! = 1
´ 0! = 1 ´ 1 = 1
(4’) 2! = 2
´ 1! = 2 ´ 1 = 2
(3’) 3! = 3
´ 2! = 3 ´ 2 = 6
(2’) 4! = 4
´ 3! = 4 ´ 6 = 24
(1’) 5! = 5
´ 4! = 5 ´ 24 = 120
Jadi, 5! = 120.
Contoh 20. Di bawah ini adalah contoh-contoh fungsi rekursif
lainnya:
2. Fungsi Chebysev
3. Fungsi fibonacci:
Terima kasih sudah berkunjung di blog saya.
semoga bermanfaat.
Sumber : Matriks, Relasi dan Fungsi.doc
